西北师范大学2008年普通专升本招生数学与应用数学专业

考试大纲

（试行）

一、试题难易度

较容易题                            约30%

中等难度题                          约50%

较难题                              约20%

二、说明

试卷满分为200分，考试时间为180分钟。

（数学分析部分）

一、考试目的

全面考核普通高校专科（含高职）应届毕业生数学分析课程是否达到教学大纲所规定的目标。

二、考试范围

主要涵盖专科数学分析课程教学大纲所规定的全部内容。重点考核学生的数学分析基础知识及其应用能力，考试不追求偏题怪题，以基础知识为出题的核心内容。为保证试卷的信度，对于主观性选择填空题，以基础概念之间的关系、推理、计算为主，力求覆盖基础知识。其余试题均为计算、讨论和证明。

三、考试内容

考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限与连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维和逻辑推理能力、数值运算能力和空间想象能力，能运用所学知识进行推理和证明、准确而简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。主要包括：

（一）函数、极限与连续

     1．知识范围
      函数的概念和性质、数列极限和函数极限的定义和性质、夹定理及其应用、极限的计算、单调有界定理、海涅定理、两个重要极限、无穷小量与无穷大量的定义及其他们的关系、性质及无穷小量阶的比较、闭区间套定理、Weierstrass定理、Cauchy收敛原理、函数连续的概念、函数的间断点及其分类、连续函数局部性质、闭区间上连续函数的整体性质（介值定理，零点定理，最值定理，一致连续性定理）等，上述问题的内容、证明和应用。

      2．考核目标
     (1)正确理解和掌握函数的概念，熟练地求函数的定义域；理解和掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数概念；并会用定义判断函数的类别。

    （2)理解和掌握数列极限与函数极限的概念；会用定义证明极限中一些有关问题；熟练地应用极限的唯一性、有界(局部有界)性、保号(局部)性、保序(局部)性证明有关问题；应用四则运算定理、两边夹定理、单调有界定理和两个重要极限，熟练地求极限；理解无穷小与无穷大概念。

    (3)理解和掌握函数连续的概念，函数一致连续的概念；掌握闭区间上连续函数的性质，能用这些性质证明有关问题；知道初等函数在其定义区间上连续。

     （二）一元函数微分学
      1．知识范围
     导数的定义和几何意义、可导与连续的关系、求导的运算法则和计算、微分的定义及其与导数的关系和计算以及应用、高阶导数的概念及计算、导数的几何应用、费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式、罗必达法则、利用导数进行函数性态的讨论和描述。

2．考核目标
    (1)掌握导数、微分的定义及几何意义，了解它们的差异；熟练地应用导数公式求函数的导数和高阶导数；熟练地计算函数的微分；

（2）掌握费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论和证明方法，会用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式；

（3）记住 的马克劳林公式，会用它们求一些简单函数的展开式；

（4）  能够熟练地应用罗必达法则求不定式的极限；

（5）能够熟练地进行函数性态的讨论，包括单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线及函数作图。
      （三）一元函数积分学

       1．知识范围
      原函数与不定积分的概念与计算、定积分的概念与计算、可积的必要条件和几类可积函数、积分上限函数的性质和牛顿一莱布尼兹公式、定积分在几何上的应用、无穷区间上广义积分和无穷限广义积分敛散性判别。

       2．考核目标
     (1)掌握原函数与不定积分的概念，熟练地用换元法和分部积分法求不定积分。

    (2)理解定积分概念和可积性证明，掌握定积分的性质和微积分基本定理，熟练地应用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分，会用定积分求平面区域的面积，平面曲线的弧长，旋转体的侧面积和体积。
      (3)掌握无穷积分收敛与发散的概念，掌握无穷积分绝对敛与条件收敛的概念，会用收敛的定义和收敛性判别法判别一些无穷积分的散性。

     （四）级数

       1．知识范围
     级数的部分和、敛散性、收敛的必要条件和柯西准则、正项级数的敛散性判别、任意项级数的绝对收敛和条件收敛概念、交错级数及其敛散的莱布尼兹判别法、函数项级数的一致收敛性以及和函数的分析性质、幂级数的收敛性和幂级数和函数的性质、函数的泰勒展开、Fourier级数的性质与展开。

2．考核目标
    (1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的概念；级数 的敛散性，熟练地应用比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性；熟练地用莱布尼兹判别法、Able、Dirichlet判别法判断常见的一般项级数的敛散性。

（2）掌握函数项级数的一致收敛性的定义、证明。

     (3)会求幂级数的收敛半径、收敛域、和函数，记住五个常见函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数。

    （4）了解Fourier级数的性质，能够对一些函数计算其Fourier级数展开式。

      （五）多元函数微分学

       1．知识范围
     多元函数的概念，二元函数的重极限与累次极限及其关系，二元函数连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性，多元函数连续、偏导数、全微分的计算和相互关系，复合函数和隐函数的偏导数与二阶偏导数、偏导数的应用。

2．考核目标
    (1)理解二元函数重极限和累次极限的定义和相互关系，会求二元函数的重极限与累次极限；理解二元函数连续的定义与有界闭区域上连续函数的性质。
    (2) 掌握多元函数连续、偏导数、全微分的计算和相互关系；熟练地求偏导数、全微分和高阶偏导数，包括复合函数和隐函数的偏导数和二阶偏导数。

（3）掌握偏导数的应用，包括在几何上的应用、条件极值、无条件极值等。
    （六）多元函数积分学

     1．知识范围
     二重积分的概念和计算、应用二重积分计算空间形体的体积和平面图形的面积、三重积分的概念和计算、第一、二型曲线积分的定义、性质和计算方法、格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件、第一、二型曲面积分的定义、性质和计算方法、Gauss公式和Stokes公式、含参量积分的定义与分析性质、含参量反常积分的一致收敛性的判别和分析性质。

2．考核目标
    (1)理解二重积分的概念，熟练地计算二重积分；会用二重积分计算一些简单空间形体的体积和平面图形的面积；理解三重积分的概念，能够计算某些三重积分。

(2)熟练地计算第一、二型曲线积分；会用格林公式计算第二型曲线积分；知道曲线积分与路径无关的条件，会求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函数；

（3）能够计算第一、二型曲面积分；知道Gauss公式和Stokes公式的内容和应用。

（4）含参量积分的定义与分析性质；能够判断含参量反常积分的一致收敛性和讨论其分析性质。

（高等代数部分）

一、考试目的

全面考核普通高校专科（含高职）应届毕业生高等代数课程是否达到教学大纲所规定的目标（掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力）。

二、考试内容

考试内容包括以下九个部分

1. 基本概念

集合, 映射, 数学归纳法, 整数的整除性质, 数环和数域.

2. 多项式

一元多项式的定义和运算, 多项式的整除性, 多项式的最大公因式,多项式的唯一因式分解定理, 多项式的重因式, 多项式函数与多项式的根, 复数域和实数域上多项式的因式分解, 有理数域上多项式的可约性及有理根

3. 行列式

二阶和三阶行列式的结构, 排列, n 阶行列式的定义和性质, 行列式依行依列展开, Cramer 规则。

4. 线性方程组

线性方程组的消元法, 矩阵的秩, 线性方程组有解的判别法, 线性方程组的公式解

5. 矩阵

矩阵的运算, 可逆矩阵, 初等矩阵, 矩阵乘积的行列式与秩, 矩阵的分块

6. 向量空间

向量空间的定义、例子及简单性质, 子空间, 向量组的线性相关性,基和维数, 子空间的直和, 坐标, 向量空间的同构, 齐次线性方程组的解空间, 非齐次线性方程组解的结构

7. 线性变换

线性变换的定义及其简单性质, 线性变换的象与核, 线性变换的运算,线性变换和矩阵, 矩阵的相似,不变子空间, 特征根、特征向量、特征多项式。

8. 欧氏空间

欧氏空间的定义及基本性质, Cauchy—Schwarz 不等式, 向量的长度及两个向量的夹角, 正交基标准正交基和正交化方法, 向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离, 同构的定义和同构的充要条件, 正交变换与正交矩阵, 对称变换与实对称矩阵.

9. 二次型

二次型的矩阵表示, 标准形, 复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性惯性定理, 正定二次型的定义及充要条件